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http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E5%AE%9A%E5%BE%8B

 

大數定律又稱大數法則、大數律，是個數學與統計學的概念，意指樣本數量越多，則其平均就越趨近期望值。

 

人們發現，在重複試驗中，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率趨於一個穩定值；人們同時也發現，在對物理量的測量實踐中，測定值的算術平均也具有穩定性。

 

比如，我們向上拋一枚硬幣，硬幣落下後哪一面朝上本來是偶然的，但當我們上拋硬幣的次數足夠多後，達到上萬次甚至幾十萬幾百萬次以後，我們就會發現，硬幣每一面向上的次數約佔總次數的二分之一。偶然必然中包含著必然。

 

切比雪夫定理的一個特殊情況、辛欽定理和伯努利大數定理都概括了這一現象，都稱為大數定律。

 

表現形式[編輯]

大數定理主要有兩種表現形式:弱大數定理和強大數定理。

 

弱大數定理[編輯]

弱大數定理陳述為：讓 X_1,X_2,\ldots,X_n 為獨立同分布的隨機變數，且其期望有限。讓 S_n=X_1+\ldots+X_n, \mu=EX；則 S_n/n 依機率收斂於 \mu[1]。

 

切比雪夫定理的特殊情況[編輯]

設 a_1 , a_2 , ... , a_n , ... 為相互獨立的隨機變數，其數學期望為： E(a_i) = \mu  (i = 1,2,...) ，方差為： Var(a_i) = \sigma^2 (i=1,2,...)

則序列\overline{a}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i依機率收斂於\mu（即收斂於此數列的數學期望E(a_i)）。

換言之，在定理條件下，當n無限變大時，n個隨機變數的算術平均將變成一個常數。

 

辛欽定理[編輯]

設 a_1 , a_2 , ... , a_n , ...為服從同一分布且相互獨立的隨機變數，其數學期望為： E(a_i) = \mu  (i = 1,2,...) ，

則對任意正數 \varepsilon >0 ，下式成立：

\lim_{n \to \infty}{P{\left\{ \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i - \mu \right| < \varepsilon \right\}}} = 1

 

伯努利大數定理[編輯]

設在n次獨立重複伯努利試驗中，
事件X發生的次數為 n_x。
事件X在每次試驗中發生的母體機率為p。
n_x/n代表樣本發生事件X的頻率。

 

大數定理可用機率極限值定義: 則對任意正數 \varepsilon >0 ，下式成立：

\lim_{n \to \infty}{P{\left\{ \left|\frac{n_x}{n} - p \right| < \varepsilon \right\}}} = 1

定理表明事件發生的頻率依機率收斂於事件的母體機率。
定理以嚴格的數學形式表達了頻率的穩定性。
就是說當n很大時，事件發生的頻率於母體機率有較大偏差的可能性很小。

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